2022英语周报引答案

20.(本小题满分12分)(1)证明:如图3,过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,连接BH在直角△ADH中,AD=4,∠DAC=30°,则DH=2,AH=2√3,图3故△ABH中,由余弦定理知,BH2=AH2+AB2-2AH· 1B cos∠BAC=12,即BH=2√3,满足BH2+AH2=AB2,即有BH⊥AC,又因为DH⊥AC,BH∩DH=H,所以AC⊥平面BDH,则AC⊥BD…………………………………(5分)(2)解:因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DH⊥平面ABC,DHc平面ACD,则DH⊥平面ABC,所以BH⊥DH,又有BH⊥AC,DH⊥AC,则有HA,HB,HD两两垂直………………(7分如图,以H为原点,以HA,HB,HD为正方向建立空间直角坐标系H-xz由(1)知,AH=2√3,DH=2,BH=2√3,则有H(0,0,0,A(2√3,0,0),B(0,23,0,D(0,0,2),设C(a,0,0),(a<2√3),设平面ABD的法向量为m=(x,,z1),BA=(23,-23,0),BD=(0,-2、3,2),n·BA则由32取m=(,1,√3)m·BD=-2√3y+2z1=0又BC=(a,-2√3,0),所以BC与平面ABD所成角a的正弦为im=⊥BCm|a-231解得a=√3或a=43舍),………………………………………(10分)设平面BDC的法向量为n=(x2,yz2),则nBC=3x2-23y2=0取n=(2,1,3),nBD=-23y2+2=0则cos(m=、m,n63√10m·n故二面角A-BD-C的余弦值为3V10…………12分)10

22.(本小题满分12分(1)F: Q yx sb: .SvK =5IFF1-y s5 2c-b=bcb时,(Sw)bc=1Q3分椭圆厂的方程为+y2(2)证明方法得(2y2+x)x24-4y2=0(+)x0↓yyQ点()在椭圆2x2(x-x)2得x=则直线和椭圆仅有圆的公切线分方法二):由a2x-o.y yo(a2y2+b2x2)x2-2ab2xox+b2a4-ay2=0(*)Q点(2)在椭圆上l(a>b>0∴bx+a2y2=a2bab2x2-2a3b2x+a2b2-2=0∴a2b3(x2-2x+x2)=0ab(r-rr直线和椭圆仅有共为椭圆的公切线方法三)由a2b2x-. y- yo(a2y2+b2x02)x2-2a2b2xx+ba4-ay2=0()Q点(,)在椭圆上(a>b>0):b3+ay=6(*)可化为:ab2xx-24b'r,+a'bQab#0, A=(2abr-4ab2-abx=0方程组仅有一解则直线和椭圆仅有一个公共l为椭圆的公切线8分方法四得(22)x2-4xx+4-4y2=0()y- yoQ点(2y)在椭圆240∴.Δ=(4x)2-4×2:方程组仅有一解则直线和椭圆仅共点为椭圆的公切线8分(3)解法一:设P(2)切点A(巧2y),B(x2y2),则线PAPB的方程分别为2+y为=1,2 J9分QP在切线(2y)(x2y2)都满足x+y线AB的方程为:x+y=11分直线AB过定点0)12分设切点A(巧,y),B(x2,y2)线PAPB的方程分别为y乃=1,王互y-559分QP在切线互+奶=1,x+=1直线AB过定点F(L0)0分F一真FAF,B三点共线,故直线过定点F12分

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