2022-2022数学周报安徽专版答案

16.(a-3)·2+3由题意,原有酒ao升,在第1家店饮酒后所余酒量为a1=2a0-3,在第2家店饮酒后所余酒量为a2=2a1-3,在第3家店饮酒后所余酒量为a3=2a2-3在第n家店饮酒后所余酒量为an=2a1-3,整理得an-3=2(am-1-3)因为数列{an-3}是一个公比为2的等比数列,所以an-3=2(a0-3)×2-1,即an=(a-3)×2+3,故在第n(n≥1,n∈N)家店饮酒后所余酒量an=(a-3)×2"+3升

21.解:(1)当a=1时,f(x)=e+x2-1,则f(1)=e1分因为f(x)=e+2x,所以f(1)=e+2,2分则所求切线方程为y-e=(e+2)(x-1),即y=(e+2)x-24分(2)当a=0时,f(x)=x2-1,方程f(x)-4xlnx=0,即x2-1-4xlnx=05分令g(x)=x2-1-4xlnx,定义域为(0,+∞),则g'(x)=2x-4nx-4.分令(x)=2x-{nx-4,则(x)=2-4,令2-4=0,得x=2.7分当x∈(0,2)时,h(x)<0,所以h(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,十∞)时,h(x)>0,所以h(x)在(2,十∞)上单调递增.所以h(x)==h(2)=-4ln2<0,8又h(-)=->0,h(1)=-2<0,h(e2)=2e2-12>0,0<-<1,e2>2,所以h(x)在(0,2)上存在唯一零点,记为m,在(2,+∞)上存在唯一零点,记为n,则m∈(-,1),n∈(2,e2)9当x∈(0,m)时,h(x)>0,所以g(x)在(0,m)上单调递增;当x∈(m,n)时,h(x)<0,所以g(x)在(m,n)上单调递减;当x∈(n,十∞)时,h(x)>0,所以g(x)在(n,+∞)上单调递增.又g(m)>g(1)=0,g(m) 0,所以存在唯一的p∈(0,m),使得g(p)=0,存在唯一的q∈(n,+∞),使得g(q)=0,且p∈(-,m),q∈(n,e).综上方程x2-1-4xlnx=0恰有三个不同的实根p,1,q………12

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