2020－2022数学周报答案

【解析】1)由题设知km=号,设所求直线方程为:y=则k,=一号,则A=故共轭直径所在直线方程为:y=-x联立椭国与y=,可得:=3,x=士故端点坐标为(3,-)和(-√31分(2)由题设知,不与x轴重合,故设l:x=my=3,√3联立方程:→(3m2+4)y2-63my-3=0,用印必究则y+2=65m3m2+4y=--312-12m2虿,4·3m+_6√m≤b=3√3m2+1+当且仅当3m2+1=3,即m2=时取等号,此时k4·kn吗=x1x2一12-12m2,故直径A1A2与直径B1B2共轭8分(3)法1:设点C(x,y),M(x2,y),则T(当2,当代入OP=A可得:P(+n,1为十边+2·x)(若P在椭圆E的外部,则有:即A2[3(m+x)2+4(y+y)2]>48→x2[(3x+4)+(3+4y)+6nx2+8yyJ>48.又因为C、M均在椭圆E上,则3+4y=3n+4y=12,又CD和MN为椭圆E的一对共轭直径,故如m·km==-,即4yy+3x1x2=0从而24A2>48,即x2>2,即A>,或A <一212分法2:设点c(n1,y),m(x2,y2),当cd不与坐标轴重合时,设la:y=kx,则la:y=kx同理可得:=3+4,=3+4由椭圆的对称性,不妨设c在第一象限,则m必在第二象限或第四象限,则x1=34yv3+42若m在第二象限,则x2=3+42y=√3十4216、2+从而t3+4v3+4y3+状3+4则pv3十4k3+42,v3+416k又p在椭圆外,则3y34v3+状,+4y3+、31> 12化简可得:A2>2,即,或κ<-2若M在第四象限,同理可得A2>2,即>,或 <一2点cd与x轴直重奋时,山糖圆的对称法,不取(20).mo),p()又p在椭圆外,则382+4,32> 122>2,即巨,或k<-2,综上:>2,或A<-√212

18.解析:(1)选①时,在△BCD中,由正弦定理得am∠CBD=m∠BCD所以BDCD×sin∠BCD=6(km)(3分)因为∠CDE=1,所以∠BDE=1一∠CDB=x所以BE=√62+82=10(km)(6分)选②时,在△BCD中,由正弦定理得am∠CBD=sam∠BCD所以BDCD×sin∠BCD=6(km).………(3分)sin∠CBD在△BED中,由余弦定理得DE=BD+BE-2BD· BEcos∠DBE,所以5BE-36BE-140=0.所以BE=10(kmn).…(6分)(2)在△BAE中,∠BAE=2,BE=10km由余弦定理得BE=AB+AE-2AB·AEcO∠BAE即100=AB+AE+AB·AE(8分故(AB+AE)-100=AB,AB(AB+AEy2,从而(AB+AE)2≤100(10分)即AB+AF=203,当且仅当AB=AE时,等号成立即设计为AB=AE时,折线段赛道BAE最长.…………(12分)

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