19解:(1)因为f(x)=x2+ax,所以∫(x)=3x2+a①当a≥0时,因为f(x)=3x2+a≥0所以f(x)在R上单调递增;②当a<0时,令了(x)>0,解得x<-3°或x令r(2)<0,解得与。
0,解得1≤x<,则h(x)在(2,2]上单调递减,在[号)上单调递增,因为h(l)=()+h=-1-h2h(222+ln2=-4+ln2,所以h(h(2)=15-2>0则)-=(2=-4+12(x)m=h()+In2In 2,故a的取值范围为一4+2,-2-2m2
22【必备知识】本题考查的知识是“了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)”【关键能力】本题考查运算求解能力、逻辑思维能力【解题思路】(1)f(x)=+a(hnx-x)一→f(x)=x+lnxf(1)=f(-…1-1→f(1)=0曲线y=f(x)在x=1处的切线方程(2)(x)22+a(mx-2)(x)=(1-x)(+a=0f(x)=>0→f(x)无零点S”*饿(1)=1-a+分a>1,a=,得解0
0→f(x)无零点解:(1)当a=1时,f(x)=+lnx-x,(1分)f(1)=--1,f"(x)=1,f(1)=0,(2分)所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=1-1(3分)(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=a=(1-x)()(4分)①当a=0时,f(x)=>0,f(x)无零点(5分)②当a>0时,+>0,令f(x)>0,得0
1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)有最大值f(1)=当-a<0,即a>-时,f(x)无零点(6分)当-a=0,即a=-时,f(x)只有一个零点(7分)当--a>0,即0
0,f(a)=+a(In a-a).令(x)=hnx-x+1,则g(x)=1-1=1-x,则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)m=g(1)=0,所以g(x)=hnx-x+1≤0,因此当0
0,所以e>1,于是f(a)
0,且a<1,所以f(x)在(0,1)上有唯一零点(8分)1(1)=4+a(m1-1)=-ahna-1当0
e,令h(x)=e-x2,其中x>e,则h'(x)=e-2x,令q(x)=e-2x,x>e,则φ'(x)=e-2>0,所以h'(x)在(e,+∞)上单调递增,h(x)>e-2e>0所以h(x)在(e,+∞)上单调递增,h(x)>e"-e2)0故当x>e时,e>x2因为1>e,所以e>(1),即
0,>1,f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以∫(x)在(1,+∞)上有唯一零点故0
0又当x>0时,x>0,所以f(x)>0,f(x)无零点11分)综上可知,a≤0或a>一时,f(x)无零点;=—时,f(x)只有一个零点:0
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